ANASAYFA - ÖSS - ÖSS GEOMETRİ
UZAY GEOMETRİSİ
Geometride nokta, doğru, düzlem ve uzay gibi bazı kavramlar tanımsız olarak kabul edilir. Kalemin veya sivri bir şeyin ucunun bıraktığı ize nokta diyebiliriz. Cetvelin kenarı ile bir doğru çizebiliriz. Sınıfın duvarı, pencere camı birer düzlemdir. Odanın içerisi, herhangi bir cismin kapladığı yer birer uzay belirtirler. Nokta : « . » Biçiminde ifade edilir ve genellikle büyük harfle gösterilir. Nokta boyutsuzdur. « . » nokta, « . A” A noktası Doğru : iki ucuna ok işareti koyulmuş düz bir çizgi ile gösterilir. Doğru küçük harfle veya üzerindeki iki nokta ile gösterilir.
veya AB doğrusu diye okunur. Buradaki A ve B noktaları doğrunun birer elemanıdır. A Îd ve B Î d biçiminde yazılır.
Doğru bir boyutludur. Yani sadece uzunluk söz konusudur. Düzlem: Uzunluğuna ve genişliğine doğru sonsuza uzayıp giden düz bir yüzeydir. Düzlem iki boyutludur. Sayfa üzerinde paralelkenar gibi gösterilebilir. Paralelkenarın köşesine harfle ismi yazılabilir. şekildeki düzlem E düzlemi diye isimlendirilir.
A Î E B Î E C Î E d Î E
1. Düzlemle Doğrunun Durumları
Bir doğru düzlemin ya üzerinde, ya dışındadır veya düzlemi bir noktada keser. d1 Ç a = d1 d2 Ç a = Ø d Ç b = {K} K noktası kesişen bir doğru ile bir düzlemin arakesitidir. 2. Düzlemde İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları
d1 Ç d2 = Ø l1 Ç l2 = {A} Üst üste çizilen çakışık doğrular bir tek doğru kabul edilir. 3. Düzlemde Üç Doğrunun Birbirlerine Göre Durumları
Üç doğru paralel olabilir. d1 // d2 // d3 d1 Ç d2Çd3 = Ø Düzlemde paralel olan iki doğrudan birine paralel olan doğru diğerine de paraleldir. d1 // d2 ve d2 // d3 ise d1 // d3 olur. Yalnız ikisi paralel ise, üçüncü doğru paralel doğruları birer noktada keser. l1 // l2 l1Ç l3 = {A} l2 Ç l3 = {B}
Üç doğru bir noktada kesişebilir. k1 Ç k2 Çk3 = {P} Üç doğru ikişer ikişer kesişebilir. t1 Ç t2 = {A} t1 Ç t3 = {B} t2 Ç t3 = {C} t1 Ç t2 Çt3 = Ø 4.Düzlemde Nokta İle Doğrunun Durumları
5. Doğruların Düzlemde Ayırdığı Bölge Sayısı Genel olarak, n adet doğru bir düzlemi en az (n + 1) bölgeye (paralellik hali), en
Cisimlerin kapladığı yer ve içinde bulundukları mekan uzaydır. Doğruda sadece uzunluk, düzlemde uzunluk ve genişlik söz konusu idi. Uzayda ise uzunluk ve genişliğin yanında bir de yükseklik kavramı vardır. (Derinlikte denilebilir.) Dolayısıyla uzay üç boyutludur. Uzayda x, y, z eksenleri olduğu için kartezyen koordinat olarak R x R x R veya R3 ile sembolize edilir. Aşağıda üç boyutlu cisimlerin bazıları belirtilmiştir. 1. Uzay Belirtme Aksiyomları
d doğrusu F düzleminde olmadığından, F düzlemi ile d doğrusu uzay belirtir.
Farklı K ve L düzlemleri uzay belirtir. E ve F düzlemlerinin kesişim kümesi d doğrusudur. E Ç F = d dir.
2. Uzayda Doğruların Durumları Uzayda iki doğru için üç durum söz konusudur.
3. Uzayda Düzlemlerin Durumları
paralel düzlemlerinde
a // b Þ AB // CD L düzlemi dışındaki M noktasından geçen ve L düzlemine paralel olan bir tek K düzlemi vardır.
a düzlemi dışındaki P noktasından geçen ve a düzlemine dik olan b ve g düzlemleri gibi çok sayıda düzlem olabilir. a düzlemi üzerindeki K noktasından geçen ve a düzlemine dik olan sonsuz sayıda düzlem vardır. a, b, g düzlemleri bir doğru boyunca kesişirse a Ç b Ç g = d olur.
Düzlemlerin uzayı en az bölgeye ayırdığı durum, paralel oldukları durumdur. Üç düzlemin uzayı sekiz bölgeye ayırdığı durumu görmek için bir elmayı üç bıçak darbesi ile nasıl sekize bölebileceğimizi düşünelim.
1. Temel Diklik Teoremi
d1 Î a , d2 Î a , l Ç d1 Ç d2 Ç a = {A} veriliyor. l ^ d1 ve l ^ d2 ise l ^ a olur. 2. Üç Dikme Teoremi
3. Dik kesişen Düzlemler
4. Geometrik Yer
Her iki şekilde de, |AO| = |OB| , [AB] ^ [OK] ve |AK| = |BK| olur. K noktası birinci şekilde doğru üzerinde herhangi bir nokta, ikinci şekilde ise a düzlemi üzerinde herhangi bir noktadır.
1. Doğru Parçasının İzdüşümü [AB] nin, a açısı yaptığı d doğrusu üzerine dik izdüşümü [A'B'] olur.
2. Düzlem Üzerindeki İzdüşüm
E düzlemi ile a açısı yapan ABCD dörtgeninin E düzlemi üzerindeki dik izdüşümü A'B'C'D' dörtgenidir.
[AB] // [DC] Þ [A'B'] // [D'C'] [AD] // [BC] Þ [A'D'] // [B'C']
|AB| = |DC| Þ |A'B'| = |D'C'| |AD| = |BC| Þ |A'D'| = |B'C'| Bir düzlemle arasındaki açı a olan bir dörtgenin dik izdüşümünün alanı,
Bu durum bütün yüzey şekilleri için geçerlidir. şeklin alanı S, izdüşüm alanı S' dersek
|
ANASAYFA - ÖSS - ÖSS GEOMETRİ